第二章 常用統(tǒng)計技術(shù)

【考試趨勢】

單選4-5題，多選6-8題，綜合分析7-8題。

總分值30-40分?？偡?span lang=en-us>170分。占比20%左右。

【大綱考點】

一、方差分析

(一)方差分析基本概念   

1．掌握因子、水平和方差分析的三項基本假定   

2．熟悉方差分析是在同方差假定下檢驗多個正態(tài)均值是否相等的統(tǒng)計方法（難點）

(二)方差分析方法 

1．掌握單因子的方差分析方法(平方和分解、總平方和、因子平方和、誤差平方和，自由由度、f比、顯著性) （重點）

2．了解重復(fù)數(shù)不等情況下的方差分析方法。（難點）

二、回歸分析   

主要研究定量因子，也就是變量分析

(一)散布圖與相關(guān)系數(shù)   

1.掌握散布期望值與與做法   

2.掌握樣本相關(guān)系數(shù)的定義、計算及其檢驗方法   （重點，難點）

(二)一元線性回歸 

1．掌握用最小二乘估計建立一元線性回歸方程的方法 （重點，難點）

2．掌握一元線性回歸方程的檢驗方法（重點，難點）

3．熟悉一元線性回歸方法在預(yù)測中的應(yīng)用   

(三)了解可化為一元線性回歸的曲線回歸問題  

【考點解讀】

第一節(jié) 方差分析

一、方差分析

1、三項基本假定-(掌握p75)

為什么要方差分析？目的和用途。方差分析不是分析方差，通過方差分析因子的顯著與否。方差只是手段。對結(jié)果的影響是否顯著。要用到假設(shè)檢驗。零假設(shè)，備擇假設(shè)。

但是假設(shè)檢驗的前提條件是：正態(tài)分布，等方差，觀測相互獨立。也就是大綱里講的三項基本假定。

 

2、方差分析的統(tǒng)計檢驗-(掌握p76)

那么如何在同方差假定下檢驗多個正態(tài)均值是否相等呢？其實統(tǒng)計檢驗的問題。大家想一下，零假設(shè)，備擇假設(shè)是什么？

同一個因子，有不同水平，每個水平重復(fù)多次試驗就得到一個分布。有幾個水平就有幾個分布，方差分析是看分布的均值是否相等。相等，說明因子變動對結(jié)果沒影響，相差越大就越顯著！

3、單因子的方差分析-(掌握p77-80)

因子a，有r個水平，也就是取值的情況，在試驗中每個水平被重復(fù)m 次。那么總共可以得到多少個結(jié)果觀測值呢？n=r*m個。

每個水平的和，以及均值，分別共有r個。總和為t，總均值為y。

離差平方和，通俗來講，就是每個值離開平均值的平方和。先平方，再求和。能反映離散程度，波動情況。

那么，什么因素造成觀測值的波動呢?如果解釋因子的離差平方和能夠和結(jié)果的離差平方和很一致，那么這個因子就是顯著的。

這里，因子平方和的計算很有講究。首先，組間方差，也就是平方和，是用每個水平的均值與總均值相比較來求。因每個水平被重復(fù)試驗m 次，還要乘以m 。

總平方和的求解概念上很簡單，但計算量比較大。

因此，有個簡便計算公式，每個觀測的平方，求和；總和t平方，除以n=r*m；然后兩者相減。大家看一下，教材78頁的公式是不是這樣？

同樣，因子平方和的計算也有簡便公式?？梢赃@樣來理解，每組的（每個水平）的均值平方，因每個水平被重復(fù)試驗m 次，故 m 次求和；總和t平方，除以n=r*m；然后兩者相減。

 

一般地，總平方和、因子平方和不會相等。之間的差額就是誤差平方和。當(dāng)然，為了驗證平方和分解，還要計算一下誤差平方和。

為了能使用f分布進(jìn)行統(tǒng)計檢驗，還需要用到自由度的概念來構(gòu)造符合f分布的統(tǒng)計值。

自由度(degree of freedom, df)，在數(shù)學(xué)中能夠自由取值的變量個數(shù)，如有3個變量x、y、z，但x+y+z=18，其自由度等于2。在統(tǒng)計學(xué)中，自由度指的是計算某一統(tǒng)計量時，取值不受限制的變量個數(shù)。通常df=n-k。其中n為樣本含量，k為被限制的條件數(shù)或變量個數(shù)，或計算某一統(tǒng)計量時用到其它獨立統(tǒng)計量的個數(shù)。電子游戲中也有自由度這個概念。這個，我就不清楚了。統(tǒng)計學(xué)上的自由度是指當(dāng)以樣本的統(tǒng)計量來估計總體的參數(shù)時， 樣本中獨立或能自由變化的資料的個數(shù)，稱為該統(tǒng)計量的自由度。 統(tǒng)計學(xué)上的自由度包括兩方面的內(nèi)容：

首先，在估計總體的平均數(shù)時，由于樣本中的 n 個數(shù)都是相互獨立的，從其中抽出任何一個數(shù)都不影響其他數(shù)據(jù)，所以其自由度為n。 在估計總體的方差時，使用的是離差平方和。只要n-1個數(shù)的離差平方和確定了，方差也就確定了；因為在均值確定后，如果知道了其中n-1個數(shù)的值，第n個數(shù)的值也就確定了。這里，均值就相當(dāng)于一個限制條件，由于加了這個限制條件，估計總體方差的自由度為n-1。例如，有一個有4個數(shù)據(jù)(n=4)的樣本, 其平均值m等于5,即受到m=5的條件限制, 在自由確定4、2、5三個數(shù)據(jù)后, 第四個數(shù)據(jù)只能是9, 否則m≠5。因而這里的自由度v=n-1=4-1=3。推而廣之,任何統(tǒng)計量的自由度v=n-限制條件的個數(shù)。

其次，統(tǒng)計模型的自由度等于可自由取值的自變量的個數(shù)。如在回歸方程中，如果共有p個參數(shù)需要估計，則其中包括了p-1個自變量（與截距對應(yīng)的自變量是常量1）。因此該回歸方程的自由度為p-1。這個解釋，如果把“樣本”二字換成“總體”二字也說得過去。這個根本解釋不了在統(tǒng)計學(xué)中，自由度的概念。在一個包含n個個體的總體中，平均數(shù)為m。知道了n-1個個體時，剩下的一個個體不可以隨意變化。為什么總體方差計算，是除以n而不是n-1呢？方差是實際值與期望值之差平方的期望值，所以知道總體個數(shù)n時方差應(yīng)除以n，除以n-1時是方差的一個無偏估計。

這里，自由度也有分解式。其中，總自由度和因子自由度容易求，二者之差可以求其三。

，，，

平方和與自由度之比，得均方差，ms。

用msa/mse=f，構(gòu)造出f統(tǒng)計量。并計算統(tǒng)計值。然后與臨界值，門檻值或者閾值，比較。如果大于閾值，拒絕原假設(shè)，因子顯著！這個，閾值，教材上叫分位數(shù)。1- 分位數(shù)。f分位數(shù)又有2個參數(shù)，即分子和分母的自由度。和。

最后，列出方差分析表。

(平方和分解、總平方和、因子平方和、誤差平方和，自由度、f比、顯著性) 

如果顯著，要找出最好的水平，根據(jù)均值最好的水平確定。

還可以用均值水平圖直觀顯示。

最后，還要估計我們統(tǒng)計檢驗的誤差大小。即誤差方差，估計值用均方差mse。

4、重復(fù)數(shù)不等情況下的方差分析-（掌握p81）

 

 

 

注：許多考生常常疑惑的地方，這里給出解答，教材是沒有的。

第二節(jié) 回歸分析

 

1、相關(guān)系數(shù)

定義，其實可以聯(lián)想一下協(xié)方差的概念。一個變量x的方差是v(x)=,那么兩個變量之間的協(xié)方差呢？可以比照方差的公式。這是理解的心法！

cov(x)=協(xié)方差除以兩個變量的標(biāo)準(zhǔn)差乘積就是相關(guān)系數(shù)。

相關(guān)系數(shù)的計算方法公式很有規(guī)律。

2、樣本相關(guān)系數(shù)的檢驗-（掌握p84-85）

有專門的檢驗表，教材上有。統(tǒng)計值與臨界值比較。

3、最小二乘估計gls-（掌握p86）

這個可能大家都很熟悉了。這里簡略講一下。

基本思想是方程的估計值與實際觀測值的之間的殘差平方和最小，所以英文名叫gls.一般最小二乘法。

殘差平方和，離差平方和，回歸平方和

，，。

下標(biāo)r表示回歸，英文名regression。

同學(xué)看一下，上面3個公式哪個是固定的？哪個是可調(diào)的？哪個是要求最小的？

三者之間存在方差分解關(guān)系。

4、顯著性檢驗-（掌握p87）

方差分析方法來檢驗。關(guān)鍵是構(gòu)造f統(tǒng)計量。

殘差平方和，離差平方和，回歸平方和

，，。

下標(biāo)r表示回歸，英文名regression。

同學(xué)看一下，上面3個公式哪個是固定的？哪個是可調(diào)的？哪個是要求最小的？

三者之間存在方差分解關(guān)系和自由度分解關(guān)系。

 

5、模型預(yù)測-（掌握p87-88）

 

兩個步驟。1，代入方程得到的估計值。2，給出預(yù)測精度，即置信區(qū)間。由于假定了作為隨機(jī)變量，服從正態(tài)分布。所以預(yù)測精度可用預(yù)測誤差來表示。

預(yù)測誤差,

6、曲線回歸問題-（掌握p88-92）

主要是變量轉(zhuǎn)換，化為一元線性回歸問題。求得系數(shù)后，再還原到非線性方程。對于不同形式的方程，選優(yōu)的標(biāo)準(zhǔn)有兩個：判定系數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)殘差。