影子價格長短期的劃分及其計算方法

引言

影子價格是運籌學、管理學和經(jīng)濟學中的一個重要概念。在實際計算中采用一般偏向求導法或者單純形表可以衡量資源的影子價格。但是，長期生產(chǎn)所對應的影子價格的論述較為罕見。本項研究試圖借助Aucamp與Steinberge等的研究成果，從對偶函數(shù)的極點值著手，利用Akgulm所提出的影子價格方向?qū)?shù)定義，計算短、長期生產(chǎn)所對應的影子價格。

一、問題的提出

影子價格與線性規(guī)劃對偶理論淵源極深，考慮如下一對線性規(guī)劃問題，原規(guī)劃問題(1)。

maxcjxj=zs.t. aijxi≤bi，i=1，2，…，m xi≥0，j=1，2，…，n(1)

maxbiyi=fs.t. aijyi≤cj，j=1，2，…，n yi≥0，i=1，2，…，m(2)

如果y*=(y*1，y*2，…，y*m)T為對偶規(guī)劃(2)的最優(yōu)解，則最優(yōu)值z*可看做是資源量bi(i=1，2，…，m)的一個函數(shù)，即z*=b1y*1+b2y*2+…+bmy*m(3)，對bi求右向偏導數(shù)即為y*i：

y*i=，i=1，2，…，m(4)

顯然，此影子價格僅對應于一個短期生產(chǎn)問題，其前提是其他資源數(shù)量保持不變，一般通過單純形法求得。

考慮一個生產(chǎn)運作問題。設某工廠利用K、L兩種資源生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，資源要素量、產(chǎn)品的單位價格及可耗用的資源總量(如表1所示)：

表1 生產(chǎn)有關(guān)數(shù)據(jù)表

對于上述問題，為確定最優(yōu)資源配置計劃，以收益為目標函數(shù)，以可耗資源為約束，構(gòu)造線性規(guī)劃問題(5)。

max3x1+2x2=zs.t. 2x1+x2≤600 x1+3x2≤400 x1，x2≥0(5)

利用單純形法對問題(5)求解，結(jié)果(如表2所示)。

表2初始線性規(guī)劃的最優(yōu)單純形

根據(jù)表2，推斷資源K的影子價格為，資源L的影子價格為。

但是，如果我們對資源K、L的數(shù)量同時進行調(diào)整的長期生產(chǎn)問題，上述計算方法難以確定資源影子價格，需要引進新的定義方式與計算方法。

二、影子價格的長期劃分與計算

本文擬借助Aucamp與Steinberge 等的研究成果，從生產(chǎn)最優(yōu)值函數(shù)的極點解進行分析，通過Akgulm的方向?qū)?shù)進而確定長期多資源變化的影子價格。

Akgulm定義了函數(shù)Z*(b1，…，bm)在資源組合點B處沿方向u=(u1，u2，…，um)T∈Rm的導數(shù)：

Duz*(b)=limt→0+(6)

為資源組合u的影子價格。利用凸分析的一個結(jié)論，有Duz*(b)=min{uTy|y∈z*(b)}(7)，通過(7)式我們可以求得多種資源變化時的影子價格，我們稱之為資源的組合影子價格。

三、長期資源調(diào)整的計算示例

對于例題，原規(guī)劃問題的對偶可行域的極點有三個，分別為(0，3)(，)(2，0)，于是在短期生產(chǎn)范圍內(nèi)，給定b1=600不變，僅b2發(fā)生變化，即此時資源組合點B沿單位方向(0，1)方向發(fā)生變化：

=minb1，b23b2，b1+b2，2b1=0，3b1≤b2，b1≤b2≤3b13，0≤b2≤b1

(7)

在長期范圍內(nèi)，多種資源甚至所有資源投入都可進行調(diào)整，資源可以就任何方向進行調(diào)整。比如，假設當前要素組合沿單位方向=，進行調(diào)整，由于最優(yōu)對偶解單一，此時資源組合的影子價格如下：

Dz*(b1，b2)=，1 800≤b1(a)，300≤b2<1 800(b)，0≤b2<300(c)(8)< p="">

結(jié)論

實際生產(chǎn)總表現(xiàn)出某種時期特性，不同時期特性下的影子價格定義方式、估計方法不盡相同。如果單純考察給定要素變動對收益的影響，采用收益函數(shù)對該要素的右向偏導數(shù)即可。如果給定時間范圍內(nèi)涉及到至少兩種以上生產(chǎn)要素的調(diào)整，則需采用方向?qū)?shù)方能測度投入要素對收益函數(shù)的影響，唯有如此才能根據(jù)影子價格合理指導資源配置。

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